Question

如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足

.

  （Ⅰ）当时，求证：平面平面；

（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积

 恒为定值；

  （Ⅲ）求异面直线与所成的角的余弦值.

Answer

18．【解析】

方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体中，面，

又∴平面平面，  ………………2分

∵时，为的中点，∴，

又∵平面平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面．………4分

（Ⅱ）∵， 为线段上的点，

∴三角形的面积为定值，即，

………………6分

又∵平面，∴点到平面的距离为定值，即，  ………………8分

∴三棱锥的体积为定值，即．

也即无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；………………………10分

（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，

又平面，∴，              …………………………12分

即异面直线与所成的角为定值，从而其余弦值为．…………………13分

方法二、如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系．

（Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、

∴，，设平面的法向量为，……1分

则，即，令，解得，         …2分

又∵点为线段的中点，∴，∴平面，

∴平面的法向量为，            ……………3分

∵，

∴平面平面，            ………………………4分

（Ⅱ）略；

（Ⅲ）∵，∴，   …………………10分

又、、，

∴，，    ……………………………11分

∵    …………………………………12分

∴不管取值多少，都有，即异面直线与所成的角的余弦值为0.……13分

【解析】略