Question

（本小题共12分）已知由正数组成的数列{a_n}的前n项和为S_n=，

①求S₁，S₂，S₃；

②猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；

③求

Answer

①S1＝1，

②，证明略

③

【解析】【解析】
⑴                   （1分）

即S1＝1，   又          （2分）

故             （3分）

⑵猜想，下面用数学归纳法证明：                （4分）

①当n＝1，2，3时，结论成立。

②假设当n＝k（k≥3，k∈N*）时结论成立，则    （6分）

则当n＝k+1时

故当n＝k+1时，结论成立。

综上①②得：对任意正整数n猜想均成立。                    （9分）

③，所以当n≥2时，

                        （12分）