Question

（本小题共12分）设x=3是函数f (x) = (x²+ax+b)·e^3-x (x∈R)的一个极值点。

⑴求a与b的关系式，(用a表示b)，并求f(x)的单调区间。

⑵设a>0， ，若存在ε₁，ε₂∈[0，4]，使｜f (ε₁)-g (ε₂)｜<1成立，求a的取值范围。

Answer

（1） 略

（2）a的取值范围是。 

【解析】【解析】
⑴                        （2分）

＝

令

由于x＝3是极值点，所以3+a+1≠0，那么a≠－4。

当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，，f(x)为减函数；

在区间（3，－a－1）上f (x)为增函数。

在区间（－a－1，+∞）上f (x)为减函数。               （4分）

当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，－a－1）上f(x)为减函数；

在区间（－a－1，3）上，为增函数；

在区间（3，+∞）上， f(x)为减函数。                 （6分）

⑵由①知，当a>0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，

那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min (f (0)，f (4))，f (3)]，

而f (0)＝－（2a+3）e3<0，f (4)＝（2a+13）e-1>0，f（3）＝a+6，  

那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a+3）e3，a+6]，            （8分）

又g (x)＝在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是             （10分）

由于

所以只需         

故a的取值范围是。                                 （12分）