Question

本题满分12分)

如图,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,

BC＝4,,AA₁＝4,.点D是AB的中点．

    (1)求证：AC⊥BC₁；

 (2)求二面角的平面角的正切值.

Answer

解答：(1)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

,∴AC⊥BC，                   ………2分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC1 ，又平面BCC1                      ………4分

∴ AC⊥BC1                                            ……5分

(2)解法一:过作于,则E为BC的中点，过E做EF^B1C于F,连接DF,

    是中点，∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴ , 

∴平面，平面∴

∴是二面角的平面角 ………9分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在中，，，

∴     ∴二面角的正切值为     

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系………6分

AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………8分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小

则由   令，则，

∴                                    ……………10分

，则  ………11分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为               …………… 12分

【解析】略