Question

（本小题满分14分） 

设是定义在上的偶函数，又的图象与函数的图象关于直线对称，且当时，．

（１）求的表达式；

（２）是否存在正实数，使的图象最低点在直线上？若存在，求出；若不存在，说明理由．

Answer

（1）

（2）使的图象最低点在直线上.

【解析】（1）当时，

上的关于直线对称的点为，    …………………2分

此时，代入，

得                  ………………………………5分

在上是偶函数，时， 

即                   ……………………………6分

（2）命题转化为：是否存在正实数，使的最小值是.         

在上是偶函数，只要考虑即可. ………………………………8分

，令.       ………………………………9分

（i）当时，，且 ，，

由此可知，，         

解得，矛盾.                       ………………………………11分

（ii）当时，，此时，是[0，1]上减函数，

所以            ………………………………13分

综上可知，使的图象最低点在直线上.   …………………14分