Question

本小题满分12分

的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

【解】（1）设点，由题知

，

根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），

故的方程为. …4分

（2）设点.

 ，   ……………………… 6分

①当直线轴时，

点在轴上任何一点处都能使得成立.  …………7分

    ②当直线不与轴垂直时，设直线，

由 得

           …………… 9分

    ，使，

只需成立，即，即，

    ，即

 ，故，故所求的点的坐标为时，

恒成立.      ………………………12分

【解析】略