Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为－2的等差数列；a_m＋1，

a_m＋2，…，a_2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有a_n＋2m＝a_n成立．

（1）当m＝12时，求a₂₀₁₀；

（2）若a₅₂＝，试求m的值；

（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）a2010＝a18＝a12＋6＝．

（2），m＝45，或15，或9．

（3）不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立．

【解析】解（1）m＝12时，数列的周期为24．

∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，

∴a2010＝a18＝a12＋6＝．

（2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝．

∵，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．

∴a52最多是第三个周期中的项．

若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝．

∴m＝52－7＝45；

若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；

若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；

综上，m＝45，或15，或9．

（3）2m是此数列的周期，

∴S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．

∴S2m最大时，S128m＋3最大．

∵S2m＝，

当m＝6时，S2m＝31－＝；

当m≤5时，S2m＜；

当m≤7时，S2m＜＝29＜．

∴当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×＋24＝2007．

由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立．