Question

(本小题满分16分)

已知,

且.

(Ⅰ)当时,求在处的切线方程；

(Ⅱ)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间

 的长度定义为),试求的最大值；

(Ⅲ)是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

(Ⅰ) 所求切线方程为,

(Ⅱ) 当时,取得最大值为

(Ⅲ) 满足题意的存在,且的取值范围是

【解析】解: (Ⅰ)当时,.

因为当时,,,

且,

所以当时,,且…………………………(3分)

由于,所以,又,

故所求切线方程为,

即………………………………………………………(5分)

 (Ⅱ) 因为,所以,则  

当时,因为,,

所以由,解得,

从而当时, …………………………………(6分)

当时,因为,,

所以由,解得,

从而当时, ……………………………(7分)

③当时,因为,

从而 一定不成立………………………………………………………(8分)

综上得,当且仅当时,,

故 …………………………………(9分)

从而当时,取得最大值为………………………………………(10分)

(Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,

即“(*)对恒成立” ……………………(11分)

当时,,则当时,,则(*)可化为

,即,而当时,,

所以,从而适合题意……………………………………………………(12分)

当时,.

当时,(*)可化为,即,而,

所以,此时要求……………………………………………(13分)

   当时,(*)可化为,

所以,此时只要求……………………………………………(14分)

(3)当时,(*)可化为,即,而,

所以,此时要求……………………………………………(15分)

由⑴⑵⑶,得符合题意要求.

 综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是……………………(16分)