Question

已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB1＝8．E，F分别是线段A1A，BC上的点．

（1）若A1E＝5，BF＝10，求证：BE∥平面A1FD．   

（2）若BD⊥A1F，求三棱锥A1－AB1F的体积．

Answer

略

【解析】（1）过E作EG∥AD交A1D于G，连结GF．

     ∵＝，所以＝，∴EG＝10＝BF．

     ∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．

     ∴四边形BFGE是平行四边形．

     ∴BE∥FG．…………………………………4分

     又FGÌ平面A1FD，BEË平面A1FD，

     ∴BE∥平面A1FD．                      …………………………………6分

（2）∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，BDÌ面ABCD，∴A1A⊥BD．                         

      由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F＝A1，

      ∴BD⊥面A1AF．                         

      ∴BD⊥AF．                             ………………………………8分

  ∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，

      ∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2．

        在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝．    

      ∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，∴＝，BF＝4．      ………………10分

      ∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，

∴面AA1B1B⊥面ABCD，又面ABCD∩面AA1B1B＝AB，∠ABF＝90°，

∴FB⊥面AA1B1B，即BF为三棱锥F－A1B1A的高．  ………………12分

      ∵∠AA1B1＝90°，AA1＝BB1＝8，A1B1＝AB＝8，∴S＝32．

      ∴V＝V＝×S×BF＝．…14分