Question

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点．点P是⊙O上的动点．

（1）若P(－1，)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；

（2）是否存在这样的椭圆C，使得是常数？

如果存在，求C的离心率；如果不存在，说明理由．

Answer

略

【解析】（1）∵P(－1，)在⊙O：x2＋y2＝b2，∴b2＝4． …………………2分

又∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OP，∴·＝0，

即(－1，)·(－1＋a，)＝0，解得a＝4．                     

∴椭圆C的方程为＋＝1．                     ……………………………5分

（2）设F(c，0)，c2＝a2－b2，

设P(x1，y1)，要使得是常数，则有(x1＋a)2＋y12＝l[(x1＋c)2＋y12]，l是常数．

即b2＋2ax1＋a2＝l(b2＋2cx1＋c2)，                  ……………………………8分

比较两边， b2＋a2＝l(b2＋c2)，a＝lc，             ……………………………10分

   故cb2＋ca2＝a(b2＋c2)，即ca2－c3＋ca2＝a3，

即e3－2 e＋1＝0，                               ……………………………12分

 (e－1)( e2＋e－1)＝0，符合条件的解有e＝，

即这样的椭圆存在，离心率为．              ……………………………16分