Question

已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx（a为正数）．

（1）若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）设g(x)＝x2－2x，若对任意x1Î（0，2]，均存在x2Î（0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．

Answer

略

【解析】f ′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．                    

（1）f ′(1)＝f ′(3)，解得a＝．                      ……………………4分

（2）f ′(x)＝(x＞0)．                                

①当0＜a＜时，＞2，

在区间(0，2)和（，＋∞）上，f ′(x)＞0；在区间(2，)上f ′(x)＜0，

故f(x)的单调递增区间是(0，2)和（，＋∞），单调递减区间是(2，)．  ……6分

②当a＝时，f ′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是（0，＋∞）． ………8分

③当a＞时，0＜＜2，在区间(0，)和(2，＋∞）上，f ′(x)＞0；在区间(，2)上f ′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，)和(2，＋∞），单调递减区间是(，2)． …10分

（3）由已知，在(0，2]上有f(x)max＜g(x)max．       …………………11分

由已知，g(x)max＝0，由（2）可知，                               

①当0＜a≤时，f(x)在(0，2]上单调递增，

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤．        ……13分

②当a＞时，f(x)在(0，]上单调递增，在[，2]上单调递减，

故f(x)max＝f()＝－2－－2lna．

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1，2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，f(x)max＜0，                      ……………………………15分

综上所述，a＞0．                                   ……………………………16分