Question

（本小题满分16分）

如图，已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为8且位于轴上方的点. 到抛物线准线的距离等于10，过作垂直于轴，垂足为，的中点为（为坐标原点）.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过作，垂足为，求点的坐标；

（Ⅲ）以为圆心，4为半径作圆，点是轴上的一个动点，试讨论直线与圆的位置关系.

                       

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）当时，直线AP与圆M相离，当m=2时，直线AP与圆M相切；

当时，直线AP与圆M相交。

【解析】【解析】
（I）抛物线的准线为

   ………………4分

   （II）

又   ………………6分

则直线FA的方程为…………8分

联立方程组，解得

  ………………10分

   （III）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，4），半径为4

当m=8时，直线AP的方程为，此时，直线AP与圆M相离  …………12分

当时，直线AP的方程为，

即为，所以圆M（0，4）到直线AP的距离

令   ………………14分

综上所述，当时，直线AP与圆M相离，当m=2时，直线AP与圆M相切；

当时，直线AP与圆M相交  ………………16分

   （说明：“当m=8”时这种情形没有列出，扣2分）