Question

（本小题满分16分）

对于函数，如果是一个三角形的三边长，那么也是一个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”．

对于函数，如果是任意的非负实数，都有是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．

（Ⅰ）判断三个函数“（定义域均为）”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；

（Ⅱ）若函数是“恒三角形函数”，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）如果函数是定义在上的周期函数，且值域也为，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”.

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）k的取值范围是

（Ⅲ）略

【解析】．【解析】
（I）对于上是增函数，不妨设

对于上是增函数，不妨设

则

所以

故是“保三角形函数”   ………………4分

对于是一个三角形的三边长，

但因为，

所以不是三角形的三边长，故

不是“保三角形函数”  ………………6分

   （II）法一：

①当，适量题意  ………………8分

②当

所以

 …………9分

③当

所以

从而当

由

综上所述，所求k的取值范围是  ………………11分

法二：

，

①当适合题意；

②当上递增，在上递减，而

③当上递增，而

且当

   （以下同法一，按此方法求解的，类似给分）

   （III）①因为，

使得显然这样的不是一个三角形的三边长，

故不是“恒三角形函数”  ………………13分

②因为，令，

且

所以是一个三角形的三边长，但因为

不是一个三角形的三边长，

故也不是“保三角形函数”  ………………16分

   （说明：也可以先证不是“保三角形函数”，然后据此知也不是“恒三角形函数”）