Question

( 12分)已知函数f(x)＝ax³＋bx²的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直。

(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．

Answer

（1）a＝1，b＝3

(2)m≥0或m≤－3

【解析】 (1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，

∴a＋b＝4.①

f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b，

由条件f′(1)·(－)＝－1，即3a＋2b＝9，②

由①②式解得a＝1，b＝3.

(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0得x≥0或x≤－2，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m≥0或m＋1≤－2，

∴m≥0或m≤－3.