Question

已知

（1）求函数在＞0上的最小值；

（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，都有＞成立.

Answer

（1）

（2）

（3）证明略

【解析】（1），当＜0，单调递减，当，

＞0，单调递增.

① 0＜t＜t+2＜，不可能；

② 0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，；

③ ＜t+2，即时，在上单调递增，；

所以   .

（2），则，设＞0），则

，

① ＜0，单调递减，  ② ＞0，单调递增，

所以对一切恒成立，所以；

（3）问题等价于证明＞，由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易，当且仅当时取到，从而对一切，都有＞成立.