Question

已知函数。

（1）讨论函数在定义域内的最值（4分）；

（2）已知数列满足。

① 证明对一切且，（4分）；

② 证明对一切，（这里是自然对数的底数）（6分）。

Answer

（1）为在定义域内的最大值；

在其定义域内无最小值 

（2）证明略

【解析】（1）当时，在其定义域内是增函数，无最值；………1分

当时，，由，，

且时，＞0，在内递增；

时，，在内递减，

故为在定义域内的最大值；

在其定义域内无最小值                       …………………4分

（2）① 易用数学归纳法证明。                                …………………8分

 ② 当时，由第（1）小题知对恒成立，

由① 知

所以 

所以  。

显然；因为  ，所以时，

 ，     

所以    ，综合知对一切。    …………………14分