Question

（本小题满分分）

如图，在四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

   （Ⅰ）求证：A₁O//平面AB₁C；

   （Ⅱ）求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明：如图（１），

连结CO、A1O、AC、AB1，……1分

则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，

所以，四边形A1B1CO为平行四边形，………3分

所以A1O//B1C，

又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C

所以A1O//平面AB1C………………6分

（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD

又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，

所以D1O⊥底面ABCD，……………7分

以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为轴、轴、轴建立如图（2）所示的坐标系，则（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，-1，0）.……8分

所以，…9分

设为平面C1CDD1的一个法向量，

由，得，

令，则.……10分

又设为平面AC1D1的一个法向量，

由，得，

令，则，……………………11分

则，故所求锐二面角A-C1D1-C的余弦值为……12分

【解析】略