Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．     

（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；

（Ⅱ）当边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer

（1）

（2）二面角A－PD－Q的余弦值为

【解析】解法1：（Ⅰ）如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有．

设，则，

在中，有．

在中，有．    ……4分

在中，有．

即，即．

∴．

故的取值范围为．……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），

使PQ⊥QD．                                                 

过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．

过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．

∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                      ……10分

在等腰直角三角形中，可求得，又，进而．

∴．

故二面角A－PD－Q的余弦值为．   ……12分

解法2：（Ⅰ）以为x．y．z轴建立如图的空间直角坐标系，则

B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），

P（0，0，4），                     ……2分

设Q（t，2，0）（），则 ＝（t，2，－4），

＝（t－a，2，0）．              ……4分

    ∵PQ⊥QD，∴＝0．

即．

∴．

故的取值范围为．         ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．

此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．                               

设是平面的法向量，

由，得．

取，则是平面的一个法向量．                 

而是平面的一个法向量，                       ……10分

由．

∴二面角A－PD－Q的余弦值为．                        ……12分