Question

（本题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2，CD,M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为.

（1）求的值；

（2）求直线与平面BMN所成角的大小.

Answer

（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD＝E．

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中点，∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，∴BN⊥平面PAD，

∴BN⊥NE，∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，∠DNE＝30°．……………3分

∵PA＝PD＝AD，∴∠PDN＝60°，∴∠DEN＝90°，∴DE＝DP，

∴CM＝CP，故＝3．…………………………………………………………6分

（Ⅱ）连结BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角．连结PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，

∴PB＝＝＝，…………………………………………9分

又PE＝PD＝，∴sin∠PBE＝＝．

所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin．………………………………12分

解法二：

（Ⅰ）建立如图所示的坐标系N—xyz，其中N(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)．

设＝λ（λ＞0），则M(，，)，于是

＝(0，，0)，＝(，，)，………………………………3分

设n＝(x，y，z)为面MBN的法向量，则·n＝0，·n＝0，

∴y＝0，－λx＋λy＋z＝0，取n＝(，0，λ)，

又m＝(0，0，1)为面BNC的法向量，由二面角M-BN-C为30°，得

|cosám，nñ|＝＝＝cos30°＝，解得λ＝3，

故＝3．……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），n＝(，0，3)为面MBN的法向量，……………………………8分

设直线PB与平面MBN所成的角为θ，由＝(0，，－)，得

sinθ＝|\o(PB,\s\up5(→________＝＝，

所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin．………………………………12分

【解析】略