Question

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数

根；②函数”

（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

（II）集合M中的元素具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意

成立。试用这一性

质证明：方程只有一个实数根；

（III）对于M中的函数 的实数根，求证：对于定义

域中任意的当且

Answer

（I）是

（II）证明略

（III）证明略

【解析】（1）因为

所以

又因为当，所以方程有实数根0，

所以函数是集合M中的元素。                            …………4分

（2）假设方程存在两个实数根，

则                                                     …………5分

不妨设，根据题意存在数，

使得等式成立，                               …………7分

因为

与已知只有一个实数根；……9分

（3）不妨设为增函数，

所以

又因为为减函数，                       …………10分

所以                                                        …………11分

所以，

即

所以