Question

（本小题满分12分）

已知平面向量a=，b=

（1）证明ab；

（2）若存在实数k，t，使x=a+b，y=-ka+tb，且xy，试求k，t的函数关系式;

（3）根据（2）的结论，讨论关于t的方程的解的情况。

Answer

（1）   略

（2）   k=

（3）

时，直线k=m与曲线仅有一个交点，则方程有一解；

当时，直线k=m与曲线有两个交点，则方程有两解；

当时，直线k=m与曲线有三个交点，则方程有三个解。

【解析】解（1）a·b=0，ab。

（2）xy， x·y=0，即〔a+b〕·(—ka+tb)=0

整理得-ka2+〔t­ -k〕a·b+tb2=0

 a·b=0，a2 =4，b2=1。上式化为-4k+ t =0，k=

(3)讨论方程的解得情况，可以看做曲线与直线k=m的交点个数。

于是。

令，解得，当变化时，、的变化情况如下表：

１

0

－

０

＋

当时，有极大值，极大值为。

当时，有极小值，极小值为。

而时，得。  所以的图像大致如图所示

于是时，直线k=m与曲线仅有一个交点，则方程有一解；

当时，直线k=m与曲线有两个交点，则方程有两解；

当时，直线k=m与曲线有三个交点，则方程有三个解。