Question

（本小题满分12分）已知函数.

（I）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围;

（II）当时，求在上的最大值和最小值;

（III）当时，求证：对大于1的任意正整数，都有 

Answer

（I）

（II）函数在上的最大值是，最小值是0

（III）略

【解析】（I）∵      ∴     ……………1分

∵  函数在上为增函数∴  对恒成立，

∴  对恒成立，即对恒成立∴  ………………4分

（II）当时，，

∴  当时，，故在上单调递减；

当时，，故在上单调递增， ……………………6分

∴ 在区间上有唯一极小值点，故 

又 

∵      ∴ 

     ∴ 在区间上的最大值

综上可知，函数在上的最大值是，最小值是0. ……………8分

（III）当时，，，故在上为增函数。

当时，令，则，故      ……………………9分

∴  ，即  …………10分

∴

   ∴        …………11分

     ∴ 

即对大于1的任意正整数，都有     ………12分