Question

本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA＝AD＝2，AB＝1，AC＝．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

【解析】证明：（I）    ………………1分

在，

所以

故  

又  

所以平面PAC。 

   （II）答：在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE。 

证明：取PD中点E，连结NE，EC，AE，

因为N，E分别为PA，PD中点，

所以  

又在平行四边形ABCD中，

所以即MCEN是平行四边形。

所以NM//EC。  

又EC平面ACE，平面ACE，所以MN//平面ACE，

即在PD上存在一点E，使得NM//平面ACE，

此时