Question

（本小题满分15分）

已知函数，．

（Ⅰ）若函数的图象在处的切线与直线平行，求实数的值；

（Ⅱ）设函数，对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，请问：是否存在整数的值，使方程有且只有一个实根？若存在，求出整数的值；否则，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）  又，即 为-3、-2、-1、0

【解析】【解析】
（Ⅰ）    

∴   

∴              

（Ⅱ）

∴在（-1,1）上恒成立．

∴在（-1,1）上恒成立．         

而在（-1, 1）上恒成立．          

∴                             

（Ⅲ）存在                                       

理由如下：

方程有且只有一个实根，

即为函数的图象与直线有且只有一个公共点．

由

（1）若,则,在实数集R上单调递增

此时,函数的图象与直线有且只有一个公共点．

（2）若，则  

列表如下：

x

+

0

-

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴，得： 

∴，解得     

综上所述，  又，即 为-3、-2、-1、0