Question

(本题满分14分)　如图，在三棱柱BCD－B₁C₁D₁与四棱锥A－BB₁D₁D的组合体中，已知BB₁⊥平面BCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝，AD＝3，BB₁＝1．

(Ⅰ) 设O是线段BD的中点，

求证：C₁O∥平面AB₁D₁；

(Ⅱ) 求直线AB₁与平面ADD₁所成的角．

Answer

(Ⅰ)略

(Ⅰ) 45°．

【解析】

(Ⅰ) 证明：取B1D1的中点E，连结C1E，OA，则A，O，C共线，且 C1E＝OA，

因为BCD－B1C1D1为三棱柱，

所以平面BCD∥平面B1C1D1，

故C1E∥OA，

所以C1EAO为平行四边形，

从而C1O∥EA．

又因为C1O平面AB1D1，

EA平面AB1D1，

所以C1O∥平面AB1D1．………………………………………………7分

(Ⅱ) 【解析】
过B1在平面B1C1D1内作B1A1∥C1D1，使B1A1＝C1D1．

连结A1D1，AA1．

过B1作A1D1的垂线，垂足为F，

则B1F⊥平面ADD1，

所以∠B1AF为AB1与平面ADD1所成的角．

在Rt△A1B1F中，B1F＝A1B1sin 60°＝．

在Rt△AB1F中，AB1＝，

故sin∠B1AF ＝=．

所以∠B1AF＝45°．

即直线AB1与平面ADD1所成角的大小为45°．     …………………14分