Question

（（本小题满分12分）

如图，已知，，，,．

（Ⅰ）求证：;          

   (Ⅱ) 若，求二面角 的余弦值．

Answer

证法一(Ⅰ)：如图（1），取的中点M，连接AM，FM，

，   ∴．

，

∴，∴AM∥BE

又∵,,

∴．

∵CF=FD,DM=ME,   ∴MF∥CE,

又∵,,

∴,    又∵,

∴,  

∵,

∴．-------5分

证法二：如图（2），取CE的中点N，连接FN，BN，

∵，

∴，

∵CF=FD，CN=NE,  ∴ ，，

又，   ∴，，

∴,

∴AF∥BN， 又∵,，

∴．------5分

(Ⅱ)解法一：如图（3）过F作交AD于点P，作PG⊥BE，连接FG．

∵，,

∴

∴ ∴FG⊥BE（三垂线定理）．

所以，∠PGF就是二面角的平面角．

由，，知△是正三角形，

在Rt△DPF中，, ，∴PA=3，

∴,

∵，  ∴

∴在Rt△PGF中，由勾股定理，得,

∴，即二面角的余弦值为．----12分

解法二：以A为原点，分别以AC，AB为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图（4）所示，则A(0,0,0)，B(0,0,2), ,,于是，有

，，，

设平面BEF的一个法向量为，则

   令，可得，

设平面ABED的一个法向量为，则

   ，可得，

∴

所以，所求的二面角的余弦值为．------12分

【解析】略