（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知
与圆
相切于点
，经过点的割线
交圆于点
,
的平分线分别交
于点
．
(Ⅰ)证明：
=
；
（Ⅱ）若
,求
的值．
（（本小题满分12分）
已知函数
．
（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若函数
在其定义域内为增函数，求
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，若在
上至少存在一点
，使得
成立，求实数的取值范围．
（（本小题满分12分）
如图，已知两定点
，
和定直线
：
，动点
在直线上的射影为
，且
．
（Ⅰ）求动点的轨迹
的方程并画草图；
（Ⅱ）是否存在过点
的直线
，使得直线与曲线相交于
， 
两点，且△
的面积等于
？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
（（本小题满分12分）
如图，已知
，
，
，
,
．
（Ⅰ）求证：
;
(Ⅱ) 若
，求二面角 
的余弦值．
（本小题满分12分）
某市为了对学生的数理（数学与物理）学习能力进行分析，从10000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数(6分制)作为样本，分数频数分布如下表：
|
等级得分 |
|
|
|
|
|
|
|
人数 |
3 |
17 |
30 |
30 |
17 |
3 |
（Ⅰ）如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准，从样本中任意抽取２名学生，求恰有１名学生为良好的概率；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间
的中点值为1.5）作为代表：
(ⅰ)据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望
及标准差
(精确到0.1)；
(ⅱ) 若总体服从正态分布,以样本估计总体,估计该市这10000名学生中数理学习能力等级在
范围内的人数 ．
（Ⅲ）从这10000名学生中任意抽取5名同学，
他们数学与物理单科学习能力等级分
数如下表：
（ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
（附参考数据：
）
（本小题满分12分）
已知函数
, 
．
(Ⅰ)求函数
的最大值和最小值；
(Ⅱ)设函数在
上的图象与
轴的交点从左到右分别为M，N，图象的最高点为P, 求向量
与
夹角的余弦值．
