Question

（本小题满分14分）

    已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：

    ①对于任意的x[0, 1]，总有f（x）≥0;

    ②f（1）＝1; 

    ③若0≤x₁≤1, 0≤x₂≤1, x₁＋x₂≤1, 则有f （x₁＋x₂） ≥ f （x₁）＋f （x₂）．

   （1）试求f（0）的值;

   （2）试求函数f（x）的最大值；

（3）试证明：当x, nN_＋时，f（x）<2x．

Answer

（1）f（0）＝0

（2）f（x）取最大值1．

（3）略

【解析】（1）令x1＝x2＝0,依条件（3）可得f（0＋0）≥2f（0）,即f（0）≤0

又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）＝0                               …………3分

（2）任取0≤x1, 此时f（x）<2x．

综上所述：当x（nN＋）时,有f（x）<2x．  ………… 14分