Question

（13分）已知，A是抛物线y2＝2x上的一动点，过A作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M．N两点，交y轴于B．C两点

    （1）当A点坐标为(8，4)时，求直线EF的方程；

    （2）当A点坐标为(2，2)时，求直线MN的方程；

    （3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值。

Answer

（1）7x＋4y－8＝0

（2）3x＋2y－2＝0

（3）8

【解析】

（1）∵DEFA四点共圆

EF是圆（x－1）2＋y2＝1及(x－1)(x－8)＋y(y－4)＝0的公共弦

∴EF的方程为7x＋4y－8＝0………………………………………………4分

（2）设AM的方程为y－2＝k(x－2)

即kx－y＋2－2k＝0与圆(x－1)2+y2＝1相切得

＝1

∴k＝

把y－2＝（x－2）代入y2＝2x得M(，)，而N(2，－2)

∴MN的方程为3x＋2y－2＝0………………………………………………8分

（3）设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，不妨设b＞c，

直线PB的方程为y－b＝，

即(y0－b)x－x0y＋x0b＝0

又圆心（1，0）到PB的距离为1，所以＝1，故

（y0－b）2＋x＝（y0－b）2＋2x0b(y0－b)+ xb2

又x0＞2，上式化简得（x0－2）b2＋2y0b－x0＝0

同理有（x0－2）c2＋2y0c－x0＝0

故b，c是方程（x0－2）t2＋2y0t－x0＝0的两个实数根

所以b＋c＝，bc＝，则(b－c)2＝

因为P(x0，y0)是抛物线上的点，所以有y＝2x0，则

(b－c)2＝，b－c＝，

∴S△PBC＝(b－c)x0＝＝x0－2＋＋4≥2＋4＝8

当（x0－2）2＝4时，上式取等号，此时x0＝4，y＝±2

因此S△PBC的最小值为8…………………………………………………………13分