Question

（14分）设函数f(x)＝xn（n≥2，n∈N*）

    （1）若Fn(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x＜b），求Fn(x)的取值范围；

    （2）若Fn(x)＝f(x－b)－f(x－a)，对任意n≥a (2≥a＞b＞0)，

证明：F(n)≥n(a－b)(n－b)n-2。

Answer

（1）［，（b－a）n）

（2）略

【解析】1）∵Fn(x)＝f (x－a)＋f(b－x)＝(x－a)n＋(b－x)n

F(x)＝n(x－a)n-1＋n(b－x)n-1·(－1)＝n［(x－a)n-1－(b－x)n-1］

令F(x)＝0得(x－a)n-1＝(b－x)n-1

∵0＜a＜x＜b ∴f (x)＝xn(n≥2，n∈N+)为单调增函数

∴x＝

x

(a，)

(，b)

F(x)

－

0

＋

F(x)

单调减

极小值

单调增

∴Fn(x)min＝Fn()＝()n＋()n＝

又Fn(x)在x＝a，x＝b处连续且Fn(a)＝Fn(b)＝（b－a）n

故≤Fn(x)＜（b－a）n

即Fn(x)的取值范围为［，（b－a）n）………………………………7分

（2）证明：∵Fn(x)＝f(x－b)－f(x－a)＝(x－b)n－(x－a)n

∴F(x)＝n［(x－b)n-1－(x－a)n-1］

则F(n)＝n［(n－b)n-1－(n－a)n-1］

∵当x≥a＞0时F(x)＞0

∴当x≥a＞0时Fn(x)是关于x的增函数

∴当n≥a时，（n＋1－b）n－（n＋1－a）n＞(n－b)n－(n－a)n＞0

∴F（n＋1）＝（n＋1）［（n＋1－b）n－（n＋1－a）n］＞（n＋1）［(n－b)n－(n－a)n］

＞（n＋1）［(n－b) (n－b)n-1－(n－b) (n－a)n-1］

＝（n＋1）(n－b)［(n－b)n-1－(n－a)n-1］

＝(n－b)·F(n)

而F(n)＞0

于是＞·（n－b）

而F(2)＝2［(2－b)2-1－(2－a)2－1］＝2(a－b)

当n≥3时

F(n)＝·…·F(2)

＞·…·2(a－b) ·(n－b)n-2

＝n(a－b)(n－b)n-2

即F(n) ≥n(a－b)(n－b)n-2…………………………………………………14分