Question

(本小题满分13分)

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求证：PD⊥BC；

(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角P－AD－C的大小；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值.

Answer

【解析】
解法一：(Ⅰ)在菱形ABCD中，连接DB，则△BCD是等边三角形.

∵点E是BC边的中点

∴DE⊥BC.

∵PO⊥平面ABCD，

∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.

∴PD⊥BC.                                         (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥BC，

菱形ABCD中，AD∥BC，

∴DE⊥AD.

又∵PO⊥平面ABCD，DE是PD在平面ABCD的射影，

∴PD⊥AD.

∴∠PDO为二面角P－AD－C的平面角.

在菱形ABCD中，AD⊥DE，由(1)知，△BCD为等边三角形，

∵点E是BC边的中点，AC与BD互相平分，

∴点O是△BCD重心.

∵AB＝6，

又∵在等边△BDC中，

DO＝DE＝·BC＝×6＝6.

∴OC＝OD＝6.

∵PC＝6，∴PO＝6.

∴在Rt△POD中，tan∠PDO＝＝＝1.

∴∠PDO＝.

∴二面角P－AD－C的大小为.                              (9分)

(Ⅲ)取AD中点H，连接HB，HP.

则HB∥DE.

∴HB与PB所成角即是DE与PB所成角.

连接OH，OB.

∵PO⊥平面ABCD，OH，OB⊂平面ABCD，

∴PO⊥OH，PO⊥OB.

在Rt△DOH中，HD＝3，OD＝6，

∴OH＝3.

在Rt△PHO中，PH＝＝.

在Rt△POB中，OB＝OC＝6，PB＝＝6.

由(Ⅱ)可知DE＝HB＝9.

设HB与PB所成角为α，

则cosα＝＝.

∴异面直线PB、DE所成角的余弦值为.                                    (13分)

解法二：(Ⅰ)同解法一；                                    (4分)

(Ⅱ)过点O作AD平行线交AB于F，以点O为坐标原点，建立如图的坐标系.

∴A(6，－6,0)，B(3，3,0)，C(－3，3,0)，

D(0，－6,0)，P(0,0,6).

∴＝(－6，0,0)，＝(0，－6，－6).

设平面PAD的一个法向量为s＝(a，m，n).

则

即

∴

不妨取s＝(0，－1,1).

∵＝(0,0,6)是平面ADC的一个法向量，

∴cos〈s，〉＝＝.

∴二面角P－AD－C的大小为.                                 (9分)

(Ⅲ)由已知，可得点E(0,3,0).

∴＝(3，3，－6)，＝(0,9,0).

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线PB、DE所成角的余弦值为.  

【解析】略