Question

(本小题满分13分)

设定义在R上的函数f(x)＝a₀x⁴＋a₁x³＋a₂x²＋a₃x＋a₄(a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R)当x＝－1时，f(x)取得极大值，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称.

(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)试在函数y＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－，]上；

(Ⅲ)设x_n＝，y_m＝(m，n∈N^)，求证：|f(x_n)－f(y_m)|<.

Answer

【解析】
(Ⅰ)将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y＝f(x)的图象，

∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，

∴f(x)＝a1x3＋a3x.

∴f′(x)＝3a1x2＋a3.

由题意得：.

所以，f(x)＝x3－x.经检验满足题意.                                 (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，f′(x)＝x2－1.

故设所求两点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x1，x2∈[－，])

得f′(x1)·f′(x2)＝(x－1)(x－1)＝－1.

∵x－1，x－1∈[－1,1]，

∴或

∴或

∴满足条件的两点的坐标为：(0,0)，或(0,0)，.            (8分)

(Ⅲ)∵xn＝＝1－，(n∈N)

∴xn∈

当x∈时，导函数f′(x)<0，即函数f(x)在上递减，

得f(xn)∈，

即f(xn)∈.

易知ym∈，用导数可求f(ym)在(－，－1)上递增；在(－1，－)上递减，

∵f(－)＝·(－)3＋＝，

f(－)＝·(－)3＋＝，

∴f(－)