Question

(本小题满分14分)

已知F₁，F₂分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自点F₁引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设＝λ.

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)证明：＝－λ；

(Ⅲ)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范围.

Answer

【解析】
(Ⅰ)∵椭圆＋＝1的右焦点F2的坐标为(1,0)，

∴可设曲线C的方程为y2＝2px.(p>0)

∴p＝2.

曲线C的方程为y2＝4x.                                   (3分)

(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1).

∵＝λ，

∴x1＋1＝λ(x2＋1). ①

y1＝λy2， ②

∴y＝λ2y，

∵y＝4x1，y＝4x2.

∴x1＝λ2x2. ③

③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ.

∴λx2(λ－1)＝λ－1.

∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ.

∴＝(x1－1，－y1).

由②知，－y1＝－λy2，

∴＝－λ(－1，y2)，

＝－λ.

故＝－λ.                                          (9分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1.

∴y·y＝16x1x2＝16.

∵y1y2>0，∴y1y2＝4.

则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2

＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)

＝(λ＋)2＋4(λ＋)－12

＝(λ＋＋2)2－16.

∵λ∈[2,3]，∴λ＋∈.

∴|PQ|2∈.

得|PQ|∈.    

【解析】略