Question

(本小题满分14分)

已知数列{a_n}中，a₁＝t(t∈R，且t≠0,1)，a₂＝t²，且当x＝t时，

函数f(x)＝(a_n－a_n－1)x²－(a_n＋1－a_n)x(n≥2，n∈N^)取得极值.

(Ⅰ)求证：数列{a_n＋1－a_n}是等比数列；

(Ⅱ)若b_n＝a_nln|a_n|(n∈N^)，求数列{b_n}的前n项和S_n；

(Ⅲ)当t＝－时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
(Ⅰ)由f′(t)＝0，得(an－an－1)t＝an＋1－an(n≥2)

又a2－a1＝t(t－1)，t≠0且t≠1，∴a2－a1≠0，

∴＝t.

∴数列{an＋1－an}是首项为t2－t，公比为t的等比数列.             (3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知an＋1－an＝tn＋1－tn，

∴an－an－1＝tn－tn－1，

∴an－1－an－2＝tn－1－tn－2，

…，…

a2－a1＝t2－t，

上面n－1个等式相加并整理得an＝tn.(t≠0且t≠1)

bn＝anln|an|＝tn·ln|tn|＝ntn·ln|t|.

∴Sn＝(t＋2·t2＋3·t3＋…＋n·tn)ln|t|，

tSn＝[t2＋2·t3＋…＋(n－1)tn＋n·tn＋1]ln|t|，

两式相减，并整理得Sn＝ln|t|.                          (9分)

(Ⅲ)∵t＝－即－10，∴最大项必须为奇数项.

设最大项为b2k＋1，则有

即

整理得

将t2＝代入上式，解得≤k≤.

∵k∈N，

∴k＝2，即数列{bn}中的最大项是第5项.                             (14分)

【解析】略