Question

(本小题满分13分)

已知常数a为正实数，曲线C_n：y＝在其上一点P_n(x_n，y_n)的切线l_n总经过定点(－a,0)(n∈N^*).

(1)求证：点列：P₁，P₂，…，P_n在同一直线上；

(2)求证： (n∈N^*).

Answer

证法一：(1)∵f(x)＝，

∴f′(x)＝·(nx)′＝·.(1分)

Cn：y＝在点Pn(xn，yn)处的切线ln的斜率kn＝f′(xn)＝·，

∴ln的方程为y－yn＝·(x－xn).(2分)

∵ln经过点(－a,0)，

∴yn＝－·(－a－xn)＝·(a＋xn).

又∵Pn在曲线Cn上，∴yn＝＝·(a＋xn)，

∴xn＝a，∴yn＝，∴Pn(a，)总在直线x＝a上，

即P1，P2，…，Pn在同一直线x＝a上.(4分)

(2)由(1)可知yn＝，∴f(i)＝＝＝.(5分)

＝<＝2(－)(i＝1,2，…，n)，

.(9分)

设函数F(x)＝－ln(x＋1)，x∈[0,1]，有F(0)＝0，

∴F′(x)＝－＝＝>0(x∈(0,1))，

∴F(x)在[0,1]上为增函数，

即当0F(0)＝0，故当0ln(x＋1)恒成立.(11分)

取x＝(i＝1,2,3，…，n)，f(i)＝>ln(1＋)＝ln(i＋1)－lni，

即f(1)＝>ln2，f(2)＝>ln(1＋)＝ln3－ln2，…，f(n)＝>ln(n＋1)－lnn，

    综上所述有 (n∈N*).(13分)

证法二：(1)设切线ln的斜率为kn，由切线过点(－a,0)得切线方程为y＝kn(x＋a)，

则方程组的解为.(1分)

由方程组用代入法消去y化简得kx2＋(2ak－n)x＋ka2＝0，(*)

有Δ＝(2ak－n)2－4k·ka2＝－4ank＋n2＝0，

∴k＝.(2分)

代入方程(*)，得x2＋(2a·－n)x＋·a2＝0，即x2－2a·x＋a2＝0，

∴x＝a，即有xn＝a，yn＝＝，

即P1，P2，…，Pn在同一直线x＝a上.(4分)

(2)先证：0x>ln(x＋1)，以下类似给分

【解析】略