Question

如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，∥，， ，。

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）证明⊥平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）证明略

（Ⅲ）

【解析】（I）【解析】
因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED．

故为异面直线CE与AF所成的角．

因为FA平面ABCD，所以FAC   D．故EDC D．

在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==．

所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为．

（Ⅱ）证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，

则．由,可得BGAB,

从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF．

    （Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点．取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF．过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM．从而BCGM．由已知，可得GM=．由NG//FA,FAGM,得NGGM．

    在Rt△NGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为