Question

     （本小题12分）

如图3，已知在侧棱垂直于底面

的三棱柱中，AC=BC, AC⊥BC,点D是A₁B₁中点.

(1)求证：平面AC₁D⊥平面A₁ABB_1;

(2)若AC₁与平面A₁ABB₁所成角的正弦值

为，求二面角D- AC₁-A₁的余弦值.

Answer

（1）据题意A1C1=B1C1,

且D为A1B1中点

∴C1D⊥A1B1, 又BB1⊥面A1B1C1, C1D 面A1B1C1，

∴BB1⊥C1D, ∴ C1D⊥面A1ABB1, …………2分

又C1D 面AC1D

∴面AC1D⊥平面A1ABB1………………………4分

      （2）由（1）知C1D⊥面A1ABB1,

∴∠ C1AD为AC1与平面A1ABB1所成的角……6分

设AC=CB=1,AA1=x,则AC1=,C1D=

sin∠ C1AD=, ∴x=2.    …………………8分

又因为AC、CB、CC1两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系：

取面A1C1A的法向量为，设面ADC1的法向量为，又C1(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2),

 ∴,,=0, ∴x-2z=0

=0 ,∴x+y=0 , 取z=1,则x=2,y=-2, ∴

 ………………………………11分

又D在面A1AC1上的射影为A1C1的中点，故二面角D- AC1-A1为锐角，

设为 ，所以   …………………………………………12分

【解析】略