Question

（本小题满分9分）

已知几何体A—BCED 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形.求：

   （1）异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；

   （2）二面角A—ED—B 的正弦值；

   （3）此几何体的体积V 的大小.

Answer

（1）异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

（2）二面角A—ED—B的正弦值为．

（3）

【解析】【解析】
方法一（1）取EC的中点是F，连结BF，

则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．………………3分

   （2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．

可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE

∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

∴．∴．

∴二面角A—ED—B的正弦值为．………………6分

   （3）

∴几何体的体积V为16．………………9分

方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4， 2），E（0，0，4）

，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．…………3分

   （2）平面BDE的一个法向量为，

设平面ADE的一个法向量为，

∴

从而,令，

则,

∴二面角A-ED-B的的正弦值为．………………6分

   （3），∴几何体的体积V为16．………………9分