Question

（（本小题满分14分）

已知函数．

（I）当时，求函数的单调区间；

（II）若函数在区间上无极值，求的取值范围；

（III）已知且，求证：．

Answer

(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为．

(2)

(3)略

【解析】解析：（I）当时，，定义域为.

令，则.………………2分

则当时，当时，

故的单调递增区间为，单调递减区间为．………………4分

（II）令………………5分

若，则在区间上恒成立，则在区间上无极值；……………6分

若，令 ，则.

当变化时，的变化情况如下表：

＋

0

－

↗

↘

故在处取得极大值.要使在区间上无极值，则.………………8分

综上所述，的取值范围是.   ………………9分

（III）由（II）知，当时，在处取得最大值0，…………10分

即 （当时等号成立）.

令（且），则，即………………12分

，故．………………14分