Question

（本小题满分13分）如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，

线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，

垂足是圆上异于、的点，

，圆的直径为9．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer

(1)略

(2)

【解析】（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．∵平面，

∴平面平面． …………4分

（2）解法1：∵平面，平面，

∴．

过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，

∴．∵，∴平面．

∵平面，∴．

∵，，∴平面．

∵平面，∴．

∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，∴．

在△中，，

∴．故二面角的平面角的正切值为． …………13分

解法2：∵平面，平面，

∴．∴为圆的直径，即． 设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．∴．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

∵，

∴．∴．故二面角的平面角的正切值为．