Question

(本小题满分12分)

已知定点，动点满足： .

（I）求动点的轨迹的方程；

（II）过点的直线与轨迹交于两点,试问在轴上是否存在定点,使得 为常数.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（I）轨迹的方程为

（II）当直线与x轴垂直时，,当时.

 故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数.

【解析】【解析】
（Ⅰ）   

（当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论）

所以动点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为的双曲线

所以，轨迹G的方程为 。     

（Ⅱ）假设存在定点C(m,0),使为常数.

①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为

由题意知，

设，则， 

于是

∴

＝     

＝

要是使得 为常数，当且仅当，此时 

②当直线与x轴垂直时，,当时.

 故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数.