Question

（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC且AD﹥BC，∠DAB=∠ABC=90°，PA=，AB=BC=1。M为PC的中点。

（1）求二面角M—AD—C的大小；(6分)

（2）如果∠AMD=90°，求线段AD的长。（6分）

Answer

（1）

（2）2

【解析】（1）取AC的中点H，连MH，则MH//PA，所以MH⊥平面ABCD，过H作HN⊥AD于N，连MN，由三垂线定理可得MN⊥AD，则∠MNH就为所求的二面角的平面角

    AH

    在Rt△ANH中，

    则在Rt△MHN中，

故所示二面角的大小为

（2）若AM⊥MD，又因为PA=AC=，M为PC的中点，

则AM⊥PC，所以AM⊥平面PCD，则AM⊥CD。

AM在平面ABCD的射影为CD，由三垂线定理可知其等价于AC⊥CD，

此时△ACD为等腰直角三角形，所以AD=AC=2