Question

（本小题满分12分）

设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知、，且.

（1）求动点C的轨迹E；

（2）若直线与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足，求实数的取值范围。

Answer

【解析】
（１）设点，则△ABC的重心，∵△ABC是不等边三角形，∴

再设△ABC的外心. ∵已知，∴MN∥AB，∴.  …………2分

∵点N是△ABC的外心，∴，即

化简整理得轨迹E的方程是                    …………4分

∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）  …………5分

（2）（理科）将直线方程代入轨迹E的方程，并化简，

得                        …………6分

依题意，知，，且，

化简，得，，且                         …………7分

设、，∵，∴，即

        …………8分

又∵，，∴，

化简得                                         …………10分

∴，，，，

解得实数的取值范围是或且.          …………12分

【解析】略