Question

(本小题满分12分）

某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草. 为增强观赏性，在椭圆内以其

中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草（如图），并以该直角三角

形斜边开辟观赏小道（其中的一条为线段）. 某园林公司承接了该中心花园的施工建设，

在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点的距离和为4（单位：百米），且椭圆上点

到焦点的最近距离为1（单位：百米）.

（Ⅰ）以椭圆中心为原点建立如图的坐标系，求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）请计算观赏小道的长度（不计小道宽度）的最大值.

 

Answer

【解析】
(Ⅰ) 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，

由已知，2a＝4，a－c＝1，a＝2，c＝1，

∴b＝，故椭圆的标准方程＋＝1.……3分

(Ⅱ)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，

设直角三角形斜边所在直线方程为y＝kx＋m，斜边与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程组         y=kx+m

                    ＋＝1

得3x2＋4(kx＋m)2＝12，即(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)>0，即4k2－m2＋3>0.

x1+ x2= -  8km

3＋4k2

x1 x2=    ，         …………6分

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2－＋m2

＝，

要使△AOB为直角三角形，需使x1x2＋y1y2＝0，

即＋＝0，所以7m2－12k2－12＝0， …………8分

即m2＝，故4k2－m2＋3＝4k2＋3－＝>0，

所以|AB|＝＝＝

＝

＝＝

＝≤.

当仅当16k2＝，k＝±时，等号成立. …………10分

②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为.

综上可知，观赏小道长度的最大值为2(百米). …………12分

【解析】略