Question

（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)．（a是常数）

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II) 当在x＝1处取得极值时，若关于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

(III)求证:当时．

Answer

(I) 函数的减区间为，增区间为

(II)

(III)证明略

【解析】【解析】
(I) 由已知由函数的定义域为，，

，

由得，

由得，

所以函数的减区间为，增区间为．    …4分

（II）由题意，得 ， a＝0 ．         ……5分

由(Ⅰ)知f(x)＝x－lnx，

∴f(x)＋2x＝x2＋b  ，即 x－lnx＋2x＝x2＋b  ， x2－3x＋lnx＋b＝0，

设＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)，

则＝2x－3＋＝,  

当变化时，，的变化情况如下表：

x

(，1)

1

(1，2)

2

0

－

0

＋

b－－ln2

↘

b－2

↗

b－2＋ln2

……6分

∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根,

  , ,

  ＋ln2≤b<2，即．  ……8分

(III)由(I) 和(II)可知当时,,即,     

当时,  ．                                         ……… 10分

令（）,则．

所以当时,

,

即,

．                     ……12分