Question

（本小题满分12分）

如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于．的点，，圆的直径为9．

（I）求证：平面平面；

（II）求二面角的平面角的正切值．

Answer

（I）证明略

（II）

【解析】【解析】
（I）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

   （II）解法1：∵平面，平面，

∴．

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

∵，，

∴平面．

∵平面，

∴．

∴是二面角的平面角．

在△中，，，，

∵，

∴．

在△中，，

∴．

故二面角的平面角的正切值为．

解法2：∵平面，平面，

∴．

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，．

∴．

以为坐标原点，分别以．所在的直线为轴．轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

设平面的法向量为，

则即

取，则是平面的一个法向量．

∵，

∴．

∴．

故二面角的平面角的正切值为．