Question

．设函数， (是实数，为自然对数的底数)

   （1）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

   （2）若在上至少存在一点₀，使得成立，求的取值范围。

Answer

(1) p≥1或p≤0

(2),+∞）

【解析】

（1）∵f’(x)=，要使f(x)为单调增函数，须f’(x)≥0恒成立，即px2-2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，

所以当p≥1时，f(x)在(0,+∞)为单调增函数。

要使f(x)为单调减函数，须f’(x) ≤0恒成立，

即px2-2x+0≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，

所以当p≤0时，f(x)在(0,+ ∞)为单调减函数。

综上所述，f(x)在(0,+∞)为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0…（6分）

   （2）因g(x)=在[1，e]上为减函数，所以g(x)∈[2，2e]

①当p≤0时，由（1）知f(x)在[1,e]上递减f(x)max=f(1)=0＜2，不合题意

②当p≥1时，由（1）知f(x)在[1,e]上递增，f(1) ＜2，又g(x)在[1,e]上为减函数，故只需f(x)max＞g(x)min，x∈[1,e]，

即：f(e)=p(e-)-2lne＞2p＞.

③当0＜p＜1时，因x-≥0，x∈[1,e]

所以f(x)=p(x-)-2lnx≤(x-)-2lnx≤e--2lne＜2不合题意

综上，p的取值范围为（,+∞）……………………………………（12分）