Question

已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点 任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。

   （1）求曲线的方程；

   （2）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分。

Answer

(1) 

(2)  略

【解析】【解析】
（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为．        

（2）设点的坐标为，直线的方程为，

代入曲线的方程，可得

，                               

∵，∴，

∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）

设点,的坐标分别, ，

则，                       

要使被轴平分，只要，

即，，              

也就是，，

即，即只要  

当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．

所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分．