Question

（本小题满分12分）

已知函数在其定义域上满足．

（1）函数的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；

（2）当时，求x的取值范围；

（3）若，数列满足，那么：

①若，正整数N满足时，对所有适合上述条件的数列，恒成立，求最小的N；

②若，求证：．

Answer

【解析】
（1）依题意有．若，则，得，这与矛盾，∴，∴，故的图象是中心对称图形，其对称中心为点．………（3分）

（2）∵，∴即又∵，∴

得．………（6分）

（3）① 由得，∴．由得，

即．令，则，又∵，∴，∴．

∵，∴，∴当时，．

【或∵，∴】

又∵也符合，∴，即，得．要使恒成立，只需，即，∴．故满足题设要求的最小正整数 

② 由①知，∴，

，∴当时，不等式成立．

证法1：∵，∴当时，

．………（12分）

证法2：∵，∴当时，

．………（12分）

证法3：∵，∴当时，

（12分）

证法4：当时，∵，∴

，∴

．………（12分）

证法5：∵，

∴当时，．

综上，对任意的，都有．………（12分）

【解析】略