Question

（本小题满分12分）已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）用表示出；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）证明：．

Answer

【解析】（Ⅰ），则有，解得 …．3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

令，

则 ，…………．5分

（i）当 ，

若 ，则，是减函数，所以

，故在上恒不成立。

（ii）时， …………………………………．7分

若，故当时，综上所述，

所求的取值范围为

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当时，有。

令，有

当时，。…………………………8分

令，有

即 ，……………………．10分

将上述个不等式一次相加得

整理得：……………………．12分

解法二：用数学归纳法证明

（1）当时，左边，右边，不等式成立……………．8分

（2）假设时， 不等式成立， 就是

那么

…………………………………．9分

由（Ⅱ）知：当时，有

令，有…………………………10分

令，得：

………………………12分

就是说， 当时，不等式也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立。